Uyarlanmış homotopi perturbasyon metodu ile Schlömilch integral denklemlerin çözümlerinin incelenmesi

Abstract

Lineer ve lineer olmayan Schlömilch integral denklemler, atmosferik ve karasal fizikte önemli ve yararlı denklemler olarak kabul edilmektedir. Bazı iyonosferik problemler için bu denklemler ve çözümleri kullanılmıştır. Bunlar ayrıca 1. Tip Fredholm integral denklemleri olarak da düşünülebilir. Bu ilişki 1.Tip Fredholm integral denklemlerinin çözümünde kullanılan bazı tekniklerin Schlömilch integral denklemlerin çözümünde de kullanılabilmesine olanak sağlar. Bu tekniklerden en önemlilerinden biri de Homotopi Perturbasyon Metodudur. Bu yöntem ve çeşitleri, mühendislik, fizik ve matematiğin ortaya çıkardığı uygulama problemlerini çözmek için kullanılmıştır. Bu çalışmada Schlömilch integral denklemlerini çözmek için Homotopi Perturbasyon Yönteminde kullanılan homotopi, modifiye edilerek yeni bir homotopi tanımlandı. Bu değişikliğin sonucu olarak lineer, lineer olmayan ve genelleştirilmiş Schlömilch integral denklemleri de dahil olmak üzere çeşitli Shlömilch integral denklemleri için çözümler üretildi. Ayrıca önerilen yöntemle elde edilen çözümler ile iyi bilinen gama fonksiyonu arasında ilişki kuruldu. İlaveten önerilen algoritmanın kullanışlılığı ve uygulanabilirliğini göstermek için açıklayıcı örnekler verildi. Son olarak bu çalışmada uyarlanmış homotopi perturbasyon metodunun, literatürde mevcut olan farklı teknikler kullanılarak çözülen problemler üzerinde, elde edilen sonuçlar karşılaştırılarak test edildi.

The linear and nonlinear Schlömilch's integral equations are considered to be important and useful equations in atmospheric and terrestrial physics. The equations and their solutions have been used for some ionospheric problems. They can also be considered as Fredholm integral equations of the first kind. This relation allows one to apply the techniques that are available for solving Fredholm integral equations of the first kind to Schlömilch's integral equations of various kinds. An important such technique is the homotopy perturbation method. This method and its variations have been applied to solve many application-based problems emerging from engineering, physics, and mathematics. In this study, we modify the homotopy perturbation method by introducing a new function and define a new homotopy to solve Schlömilch's integral equations. As a result of this modification, we obtain solutions for various kinds of Schlömilch's integral equations, including the linear, nonlinear, and generalized Schlömilch's integral equations. We also establish the relationship between solutions obtained from the proposed method and the well-known gamma function. Illustrative examples are provided to show the simplicity and applicability of the proposed algorithm. For the sake of comparison, we finally test the proposed method on some problems that were solved by using different techniques available in the literature.