İki aralıklı bir sınır değer probleminin çözümlerine dair asimptotik ifadeler ve karakteristik polinomlar

Abstract

Bu tez, iki aralıklı bir sınır değer probleminin çözümüne dair asimptotik ifadeleri ve özellikle de problemin özdeğerlerine ait karakteristik (kuazi) polinomları incelemek amacıyla hazırlanmıştır. Bu tez, esas olarak sekiz bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde tez konusunun tarihi hakkında bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde, diferensiyel denklemler, bazı uzaylar ve lineer operatörler hakkında bazı temel tanım ve özelliklere yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, asimptotik notasyonlardan olan büyük-O gösteriminin ve küçük-o gösteriminin tanımına yer verilmiştir. Ayrıca büyük-O gösterimi ve küçük-o gösterimi ile ilgili bazı teoremler ve örnekler verilmiştir. Dördüncü bölümde, matrisler ve lineer denklem sistemleri ile ilgili bazı temel tanımlara, teoremlere ve örneklere yer verilmiştir. Yine bu bölümde sabit katsayılı lineer homojen diferensiyel denklem sistemlerinin genel çözümleri elde edilirken kullanılan farklı özdeğer ve katlı özdeğer kavramlarına yer verilmiş, tam ve eksik özdeğer kavramları tanımlanmış, bu kavramlar ayrıntılı olarak incelenmiştir. Ayrıca bu bölümde özdeğerlere ait genelleştirilmiş özdeğer, cebirsel kat, geometrik kat, özuzay ve özbaz kavramları tanımlanmıştır. Beşinci bölümde, diferensiyel operatör, sınır değer problemi ve Sturm Liouville sınır değer problemi tanımlanmıştır. Ayrıca yine bu bölümde sınır değer problemleri ve Sturm Liouville sınır değer problemlerine ait özdeğer ve özfonksiyon problemlerine yer verilmiştir. Altıncı bölümde, iki aralıklı bir sınır değer probleminin çözümüne dair asimptotik ifadelere ve bu sınır değer probleminin özdeğerlerine ait karakteristik (kuazi) polinomlara yer verilmiştir. Yedinci bölümde tez çalışmamızda kullandığımız materyal ve metotlar açıklanmıştır. Sekizinci bölümde tez çalışmamız ile ilgili sonuç ve önerilere yer verilmiştir

This thesis is carried out to investigate asymptotic expressions of a two interval boundary value problem and the characteristic (quasi) polynomials belong to the eigenvalues of the problem. This thesis is essentially consists of eight chapters. In the first chapter some informations about the subject of the thesis are given. In the second chapter, some fundamental definitions and properties about differential equations, some spaces and linear operators are given. In the third chapter, the definition of the big-O and the small-o notations which are the asymptotic notitions are defined. In addition to these definitions some theorems and examples about the big-O and the small-o notations are given. In the fourth chapter, some fundamental definitions, theorems and examples about matrices and system of linear equations are given. Furthermore the terms distinct eigenvalue, repeated eigenvalue, defective eigenvalue and non-defective eigenvalue are introduced. These terms are examined with details. In addition to these, in this chapter, the expressions generalized eigenvalue, algebraic power, geometric power, eigenspace and eigenbasis are introduced. In the fifith chapter, the differential operator, boundary value problem and the Sturm Liouville boundary value problem are introduced. Moreover in this chapter, eigenvalue and eigenfunction problems which are belong to boundary value problem and Sturm Liouville boundary value problem are examined. In the sixth chapter, asymptotic expressions about a two interval boundary value problem and the characteristic (quasi) polynomials belong to the eigenvalues of this problem are given. In the seventh chapter, the materials and the methods that we used in our thesis are explained. In the eighth chapter, conclusions and recommendations related with this thesis are given.